Los ángulos son la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen.^[1] Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

Definiciones [editar]

Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano :

1. Forma geométrica: Se denomina ángulo a la abertura entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman las rectas tangentes en el punto de intersección.
2. Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), se considera el ángulo positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

Definiciones clásicas [editar]

Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclus un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemus, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpus de Antioch, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersectaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.

Se denomina ángulo plano a la porción de plano comprendida entre dos semirrectas con un origen en común denominado vértice. Otra concepción de ángulo dice que éste es la figura formada por dos rayos con origen común. Para ambos casos el ángulo no se puede medir (son subconjuntos de puntos del plano, por lo tanto infinitos), solo se puede medir la abertura del ángulo. Las unidades de medida son grados o radianes. Se subentenderá que cuando hablamos de "medida del ángulo" estamos hablando de medir su abertura.

Las unidades de medida de ángulos [editar]

Transportador de ángulos.

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

• Radián (usado oficialmente en el sistema internacional de unidades)
• Grado centesimal
• Grado sexagesimal

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc. y el lapiz.

Clasificación de ángulos planos [editar]

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:

Tipo	Descripción
Ángulo nulo	Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0º.
Ángulo agudo	Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de rad. Es decir, mayor de 0º y menor de 90º (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales).
Ángulo recto	Un ángulo recto es de amplitud igual a rad Es equivalente a 90º sexagesimalesg centesimales). (o 100 Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí. La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso	Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a rad y menor a rad Mayor a 90º y menor a 180º sexagesimales (o más de 100g y menos de 200gcentesimales).
Ángulo llano o colineal	El ángulo llano tiene una amplitud de rad Equivalente a 180º sexagesimales (o 200g centesimales). También es conocido como ángulo extendido.
Ángulo completo o perigonal	Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de rad Equivalente a 360º sexagesimales (o 400g centesimales).

Ángulos convexo y cóncavo [editar]

En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):^[1]

Tipo	Descripción
[[Ángulo convexo o saliente]]	Es el que mide menos de rad. Equivale a más de 0º y menos de 180º sexagesimales (o más de 0g y menos de 200g centesimales).
[[Ángulo cóncavo, reflejo o entrante]]	Es el que mide más de rad y menos de rad. Esto es, más de 180º y menos de 360º sexagesimales (o más de 200g y menos de 400gcentesimales).

Ángulos relacionados [editar]

En función de su posición, se denominan:

• ángulos adyacentes, los que tienen un vértice y un lado común, pero no tienen ningún punto interior común,
• ángulos consecutivos, los que tienen un lado y el vértice común,
• ángulos opuestos por el vértice, aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.

En función de su amplitud, se denominan:

• ángulos congruentes, aquellos que tienen la misma amplitud,
• ángulos complementarios, aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90º,
• ángulos suplementarios, aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180º,
• ángulos conjugados, aquellos cuyas medidas suman 2π radianes o 360º.

Ángulos de un polígono [editar]

En función de su posición, se denominan:

• ángulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes, interiormente,
• ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del adyacente.

Ángulos respecto de una circunferencia [editar]

Ángulos en la circunferencia.

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.

La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: arco capaz.)

Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones;

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta.

La amplitud de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.

Problema clásico: la trisección del ángulo [editar]

La trisección del ángulo, problema clásico, consistente en intentar dividirlo en tres partes iguales usando sólo regla y compás.

Ángulos tridimensionales [editar]

• El ángulo diedro, es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de una recta común,
• El ángulo sólido, es la zona del espacio delimitada por una superficie cónica.

Coordenadas angulares tridimensionales [editar]

• Los ángulos de Euler, son tres coordenadas angulares que indican la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro fijo.

Ángulos en el espacio vectorial [editar]

Dado un espacio vectorial, cuyo cuerpo es el conjunto de los números reales y en el que existe un producto escalar entre vectores, se define el ángulo formado por dos vectores no nulos por la expresión:

Si el cociente anterior es 0, se dice que ambos vectores son ortogonales.

Un ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas o rayos que tienen el mismo origen.

Los lados del ángulo son las semirrectas que lo forman.

El vértice del ángulo es el punto común que es origen de los lados.

Los ángulos pueden nombrarse de tres formas distintas:

Por las letras mayúsculas correspondientes a las semirrectas, colocando en medio la letra vértice: ó

Por una letra o número colocado en la abertura a

Por la letra del vértice B

Un ángulo completo es el que está delimitado por dos semirrectas que coinciden.

La bisectriz de una ángulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos partes iguales.

La semirrecta OA es bisectriz del ángulo O si se cumple que:

Clasificación de los ángulos:

Llano, es el ángulo formado por dos semirrectas opuestas. Tiene sus lados en la misma recta. Su amplitud es la mitad de un ángulo completo, es decir, de 180º.

Ángulo Recto, es uno cualquiera de los ángulos en que la bisectriz divide al llano. Su amplitud o abertura es de 90º.

Agudo, es todo ángulo cuya amplitud sea menor que la del recto, es decir, es como máximo de 90º.

Obtuso, es aquel cuya amplitud es mayor que la del ángulo recto y menor que la del llano, es decir, está comprendida entre 90º y 180º.

Cóncavo, es el que vale menos que un llano. Por ello se dice que los ángulos cóncavos comprenden a los agudos, rectos y obtusos.

Convexo, es el que vale más que un llano.

Ángulos suplementarios, son los que sumados valen 180º, es decir, un ángulo llano.

Cada ángulo se llama suplemento del otro. Así el ángulo es el suplemento del ángulo y viceversa.

Ángulos complementarios, son los que sumados valen 90º, es decir, un ángulo recto.

Ángulos consecutivos, son los que tienen un mismo vértice y un lado común.

Los ángulos y tienen un mismo vértice común, O, y un lado común, .

Ángulos adyacentes, son ángulos consecutivos cuyos lados no comunes están en línea recta.

Los ángulos adyacentes son suplementarios, porque juntos equivalen a un ángulo llano (180º).

Los ángulos y son adyacentes.

Ángulos opuestos por el vértice, son los ángulos en que los lados del uno son prolongaciones opuestas de los lados del otro.

También se dice que son aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.

El instrumento para medir un ángulo en grados sexagesimales se denomina transportador

y es un medio círculo graduado con doble escala, una de 0º a 180º y la otra de 180º a 0º.

Para medir un ángulo, se coloca el punto central del transportador sobre el vértice del ángulo y uno de los lados debe coincidir con la línea del cero.

Ángulo inscrito: Es aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia y cuyos lados son secantes. La amplitud de un ángulo inscrito equivale a la mitad de la amplitud del arco que abarca.

Características de los ángulos inscritos:

Dos ángulos inscritos en cada uno de los arcos que una cuerda determina son suplementarios.

Todos los ángulos inscritos que abarcan un mismo arco son iguales.

En una misma circunferencia, los arcos cortados por paralelas son iguales.

Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Angulo semiinscrito: Es aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia, uno de sus lados es tangente y el otro, secante. Al igual que en el inscrito, su amplitud equivale a la mitad de la amplitud del arco que abarca.

Ángulo interior: es aquel cuyo vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior equivale a la semisuma de los arcos que abarca éste, y su opuesto por el vértice.

Angulo exterior es aquel cuyo vértice es exterior a la circunferencia y sus lados, secantes. La amplitud de un ángulo exterior equivale a la semidiferencia de la amplitudes de los arcos abarcados por él.

Angulo central es aquel que su vértice está en el centro de la circunferencia. Por definición, su amplitud coincide con el arco que abarca.

Triángulo:

Es la porción del plano limitada por tres rectas que se cortan dos a dos.

Características:

• Todo triángulo consta de 3 vértices que son las intersecciones de las rectas.
• Los segmentos que unen los vértices se llaman lados del triángulo.
• Los lados del triángulo forman tres ángulos que se llaman ángulos internos del triángulo.
• En todo triángulo los ángulos internos suman 180º.
• En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos lados y mayor que su diferencia.

Altura de un Triángulo: La altura de un triángulo es el segmento perpendicular que va desde un vértice al lado opuesto o a la prolongación de éste.

Se llama base del triángulo al lado sobre el que se apoya.

Clasificación de los triángulos

En relación a los lados:

Equilátero, el que tiene los tres lados iguales

Isósceles, el que tiene dos lados iguales y el otro desigual

Escaleno, el que tiene los tres lados desiguales.

Clasificación en relación a sus ángulos:

Acutángulo, el que tiene todos sus ángulos agudos, es decir, menores de 90º

Obtusángulo, el que tiene algún ángulo obtuso, es decir mayor a 90º

Rectángulo, el que tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo que mide 90º. Los dos lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el otro hipotenusa.

Área de un Triángulo:

El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la longitud de la base por la altura relativa a dicha base.

Baricentro

Es el punto de intersección de las medianas de un triángulo, entendiendo por mediana la recta que parte de un vértice para ir al punto medio del lado opuesto.

Circuncentro

Es el punto de intersección de las mediatrices de un triángulo, entendiendo por mediatriz la recta que es perpendicular al lado en su punto medio.

Ortocentro

Es el punto de intersección de las alturas de un triángulo, entendiéndose por altura la recta que parte de un vértice para ser perpendicular al lado opuesto.

Incentro

Es el punto de intersección de las bisectrices interiores de un triángulo, entendiendo por bisectriz la recta que parte de un vértice y divide el ángulo en dos partes iguales.

Cuando un triángulo es equilátero, los cuatro puntos notables, baricentro,circuncentro, ortocentro e incentro, se confunden en un mismo punto.